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进一步扩展这个例子,我们可以证明每个在一个至少两维的复有限维向量空间的每个线性算子有一个非平凡的不变子空间:的特征值是的特征多项式的零点,而该多项式根据代数基本定理总是有零点的;然后我们可以取对应于该特征值的一个特征向量张成的空间。这个证明在实数域上不成立,因为不是所有实多项式都有一个实根。
在有限维向量空间上每个线性变换在选取了一个的基以后都可以用一个矩阵来表达。假设现在是一个不变子空间。取的一个基,并扩充成为的一个基。则对应于基的矩阵将有如下形式:
其中左上角块表达了中的向量的像还在本身中因此是的基向量的线性组合这一事实。
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在平面几何学中的欧拉定理是说,三角形的外心与内心之间的距离 可表示为
从欧拉定理可推出欧拉不等式 (当三角形等边时,等号成立):
(1)当时,表示外心与内心重合,此时易证三角形为正三角形,且,因此。
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20世纪60年代后,在美国兴起了一种主观主义社会学理论——现象学社会学。
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